一、前言
本系列文章为《剑指Offer》刷题笔记。
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二、题目
输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1，10，11和12，1一共出现了5次。
1、思路
两种方法，一种是从1到n遍历，每次通过对10求余数判断整数的个位数字是不是1，大于10的除以10之后再判断。我们对每个数字都要做除法和求余运算以求出该数字中1出现的次数。如果输入数字n，n有O(logn)位，我们需要判断每一位是不是1，那么时间复杂度为O(n*logn)。这样做，计算量大，效率不高。
本文采用数学之美上面提出的方法，设定整数点（如1、10、100等等）作为位置点i（对应n的各位、十位、百位等等），分别对每个数位上有多少包含1的点进行分析。
- 根据设定的整数位置，对n进行分割，分为两部分，高位n/i，低位n%i
- 当i表示百位，且百位对应的数>=2,如n=31456,i=100，则a=314,b=56，此时百位为1的次数有a/10+1=32（最高两位0~31），每一次都包含100个连续的点，即共有(a/10+1)*100个点的百位为1
- 当i表示百位，且百位对应的数为1，如n=31156,i=100，则a=311,b=56，此时百位对应的就是1，则共有a/10(最高两位0-30)次是包含100个连续点，当最高两位为31（即a=311），本次只对应局部点00~56，共b+1次，所有点加起来共有（a/10*100）+(b+1)，这些点百位对应为1
- 当i表示百位，且百位对应的数为0,如n=31056,i=100，则a=310,b=56，此时百位为1的次数有a/10=31（最高两位0~30）
- 综合以上三种情况，当百位对应0或>=2时，有(a+8)/10次包含所有100个点，还有当百位为1(a%10==1)，需要增加局部点b+1
- 之所以补8，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)
2、代码
C++：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | class Solution { public: int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) { // 统计次数 int count = 0; for(int i = 1; i <= n; i *= 10){ // 计算高位和低位 int a = n / i, b = n % i; count += (a + 8) / 10 * i + (a % 10 == 1) * (b + 1); } return count; } }; |
Python：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | # -*- coding:utf-8 -*- class Solution: def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n): # write code here count = 0 i = 1 while i <= n: a = n / i b = n % i count += (a+8) / 10 * i + (a % 10 == 1)*(b + 1) i *= 10 return count |
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