【十大经典数据挖掘算法】SVM

SVM（Support Vector Machines）是分类算法中应用广泛、效果不错的一类。《统计学习方法》对SVM的数学原理做了详细推导与论述，本文仅做整理。由简至繁SVM可分类为三类：线性可分（linear SVM in linearly separable case）的线性SVM、线性不可分的线性SVM、非线性（nonlinear）SVM。

1. 线性可分

对于二类分类问题，训练集T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xN,yN)}T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xN,yN)}，其类别yi∈{0,1}yi∈{0,1}，线性SVM通过学习得到分离超平面（hyperplane）:

w⋅x+b=0w⋅x+b=0

以及相应的分类决策函数：

f(x)=sign(w⋅x+b)f(x)=sign(w⋅x+b)

有如下图所示的分离超平面，哪一个超平面的分类效果更好呢？

直观上，超平面B1B1的分类效果更好一些。将距离分离超平面最近的两个不同类别的样本点称为支持向量（support vector）的，构成了两条平行于分离超平面的长带，二者之间的距离称之为margin。显然，margin更大，则分类正确的确信度更高（与超平面的距离表示分类的确信度，距离越远则分类正确的确信度越高）。通过计算容易得到：

margin=2∥w∥margin=2∥w∥

从上图中可观察到：margin以外的样本点对于确定分离超平面没有贡献，换句话说，SVM是有很重要的训练样本（支持向量）所确定的。至此，SVM分类问题可描述为在全部分类正确的情况下，最大化2∥w∥2∥w∥（等价于最小化12∥w∥212∥w∥2）；线性分类的约束最优化问题：

minw,b12∥w∥2s.t.yi(w⋅xi+b)−1≥0(1)(2)(1)minw,b12∥w∥2(2)s.t.yi(w⋅xi+b)−1≥0

对每一个不等式约束引进拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）αi≥0,i=1,2,⋯,Nαi≥0,i=1,2,⋯,N；构造拉格朗日函数（Lagrange function）：

L(w,b,α)=12∥w∥2−∑i=1Nαi[yi(w⋅xi+b)−1](3)(3)L(w,b,α)=12∥w∥2−∑i=1Nαi[yi(w⋅xi+b)−1]

根据拉格朗日对偶性，原始的约束最优化问题可等价于极大极小的对偶问题：

maxαminw,bL(w,b,α)maxαminw,bL(w,b,α)

将L(w,b,α)L(w,b,α)对w,bw,b求偏导并令其等于0，则

∂L∂w=w−∑i=1Nαiyixi=0⇒w=∑i=1Nαiyixi∂L∂b=∑i=1Nαiyi=0⇒∑i=1Nαiyi=0∂L∂w=w−∑i=1Nαiyixi=0⇒w=∑i=1Nαiyixi∂L∂b=∑i=1Nαiyi=0⇒∑i=1Nαiyi=0

将上述式子代入拉格朗日函数(3)(3)中，对偶问题转为

maxα−12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi⋅xj)+∑i=1Nαimaxα−12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi⋅xj)+∑i=1Nαi

等价于最优化问题：

minαs.t.12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi⋅xj)−∑i=1Nαi∑i=1Nαiyi=0αi≥0,i=1,2,⋯,N(4)(5)(6)(4)minα12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi⋅xj)−∑i=1Nαi(5)s.t.∑i=1Nαiyi=0(6)αi≥0,i=1,2,⋯,N

线性可分是理想情形，大多数情况下，由于噪声或特异点等各种原因，训练样本是线性不可分的。因此，需要更一般化的学习算法。

2. 线性不可分

线性不可分意味着有样本点不满足约束条件(2)(2)，为了解决这个问题，对每个样本引入一个松弛变量ξi≥0ξi≥0，这样约束条件变为：

yi(w⋅xi+b)≥1−ξiyi(w⋅xi+b)≥1−ξi

目标函数则变为

minw,b,ξ12∥w∥2+C∑i=1Nξiminw,b,ξ12∥w∥2+C∑i=1Nξi

其中，CC为惩罚函数，目标函数有两层含义：

• margin尽量大，
• 误分类的样本点计量少

CC为调节二者的参数。通过构造拉格朗日函数并求解偏导（具体推导略去），可得到等价的对偶问题：

minα12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi⋅xj)−∑i=1Nαi(7)(7)minα12∑i=1N∑j=1Nαiαjyiyj(xi⋅xj)−∑i=1Nαi

s.t.∑i=1Nαiyi=00≤αi≤C,i=1,2,⋯,N(8)(9)(8)s.t.∑i=1Nαiyi=0(9)0≤αi≤C,i=1,2,⋯,N

与上一节中线性可分的对偶问题相比，只是约束条件αiαi发生变化，问题求解思路与之类似。

3. 非线性

对于非线性问题，线性SVM不再适用了，需要非线性SVM来解决了。解决非线性分类问题的思路，通过空间变换ϕϕ（一般是低维空间映射到高维空间x→ϕ(x)x→ϕ(x)）后实现线性可分，在下图所示的例子中，通过空间变换，将左图中的椭圆分离面变换成了右图中直线。

在SVM的等价对偶问题中的目标函数中有样本点的内积xi⋅xjxi⋅xj，在空间变换后则是ϕ(xi)⋅ϕ(xj)ϕ(xi)⋅ϕ(xj)，由于维数增加导致内积计算成本增加，这时核函数（kernel function）便派上用场了，将映射后的高维空间内积转换成低维空间的函数：

K(x,z)=ϕ(x)⋅ϕ(z)K(x,z)=ϕ(x)⋅ϕ(z)

将其代入一般化的SVM学习算法的目标函数(7)(7)中，可得非线性SVM的最优化问题：

minαs.t.12∑i=1N∑j=1NαiαjyiyjK(xi,xj)−∑i=1Nαi∑i=1Nαiyi=00≤αi≤C,i=1,2,⋯,N(10)(11)(12)(10)minα12∑i=1N∑j=1NαiαjyiyjK(xi,xj)−∑i=1Nαi(11)s.t.∑i=1Nαiyi=0(12)0≤αi≤C,i=1,2,⋯,N

4. 参考资料

[1] 李航，《统计学习方法》.
[2] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.