数学菜鸟的AI学习攻略 | 数学符号轻松入门

转自：大数据文摘 | bigdatadigest

如果你想从阅读 arXiv 上的几篇论文开启自学AI之路？那么首先，你需要知道怎样理解这些有意思的数学小符号。

也许，学习数学符号最重要的原因，就是它可以让你用一种非常简洁的方式来表达一个复杂的想法。

没有它，解释每个方程，都需要花上很多页的篇幅。

而这篇文章要告诉你的是，学习这些符号不像你想象的那么难。

让很多人对数学失去信息的第二个原因是，很多解释写得太可怕了。

事实上，大部分人并不擅长解释东西。人们一般要定义一个数学术语，会使用更多的数学术语。这就造成了不理解的一个无限循环。好比定义“大象”这个词，说，“大象就是大象一类的东西。”

这篇文章会将数学符号和现实世界关联起来，并使用你已知的东西来类比。这样你可以脚踏实地地学习。

但是，这篇文章无法覆盖到你读一篇论文需要的所有数学符号。所以你会需要一本超级凝练的数学符号指南，Edward R. Scheinerman的Mathematical Notation: A Guide for Engineers and Scientists 。（它是我数学菜鸟的AI学习攻略 文章的一个后继补充，但它是我使用最频繁的一本书。它现在满是高亮和折页。随着数学知识的不断扩充，我一遍又一遍地回头翻阅这本书。）

首先，什么是算法？

它真的只是解决一个特定的问题的一系列步骤。无论你是否意识到，你都在使用算法。如果你需要给孩子们打包午饭，送他们上学，取走干洗的衣服，然后去上班，你已经无意识地构造了一系列步骤，从厨房到办公室。这就是一个算法。

如果你的老板同时给你安排了六项工作，你需要找到在一天内完成它们的最好的方式。你需要选择哪些事先做，哪些事后做，哪些事一起做等等。这就是一个算法。

这个概念为什么很重要呢？因为一个方程也不过是解决问题的一系列步骤而已。

我们从一些简单的符号开始，写一些方程。数学就是对事物的翻译。我们有一个输入和一个输出。我们将一些东西代入到我们方程的变量中，遍历所有的步骤，然后得到输出。计算机也是同样的道理。

目前，神经网络背后的大部分黑魔法来自于数学的三个分支：

• 线性代数

• 集论

• 微积分

集合是什么？它就是一堆东西。一般使用花括号{ }或方括号括起来。（搞数学的家伙对所有东西都很难在最佳符号表达上达成一致。）

一个集合

一个集合通常由大写字母表示，例如A、B、V或W。只要你前后一致，字母本身是什么并不重要。但是，一些特定的大写字母和符号被保留下来，用来表示重要的、常用的数字集，例如：∅ = 空集（集合里什么都没有）。这个符号是一个希腊字母，“phi”。数学里常常会用到希腊字母。此处可以查阅大小写希腊字母的写法。

R = 所有实数。（几乎所有存在的数都是实数，包括整数、分数、超越数如Pi (π)(3.14159265…)。但是不包括虚数，一种为了求无解方程的解而构造的数，也不包括无穷）

Z = 所有整数。（除了分数之外的数字，比如-1,-2, 0, 1, 2, 3）

大部分保留字母表可以在趣味数学里查到。所有这些都是集合，其中一部分是子集，也就是他们被更大的一个集合完全包含，就像这样：

在这个例子中，我们可以说，Z（整数集）是R（实数集）的子集。我们可以这么写：

A是B的子集（A包含于B）：相反的，B是A的超集（B包含A）。

假如有一个集合，包括了所有生活在美国的人，有他们的年龄、地址等等信息。现在假设有另一个集合，包括了心脏病发病率更高的人。那么这两个集合重合的地方，可以告诉我们哪个地区的人更可能患有心脏病。每个集合里都有元素。元素是什么？就是大集合的一部分。我们再看一下我们的张量。

我们将集合中的元素记作小写斜体字母，例如x.我们用一个看起来很奇怪的E一样的符号（其实不是E），来表示一个元素是集合的一部分。我们可以这么写：

这表示x是集合A中的一个元素。

我们也可以说x不是集合A中的一个元素：

你越能理解这些符号，你就越能在头脑中通过这些字符串来沟通。当你看到上面这个，你可以说，“x不是集合A中的元素。”你越能明确地讲出符号的含义，你就越能理解它们。

当然，写出一个集合的所有元素是不现实的，我们可以使用一种特殊的方式来写出一个元素的序列。假如我们有一个数字序列，以1为步长递增。我们可以这样写：

x = {1,2,3,4…n}

这些点表示这个序列到n结束，n代表“序列的末尾”。所以如果n = 10,这个集合包括从1到10的数字范围。如果n = 100,这个集合包括从1到100的数字范围。

当我们将集合转化为线性代数的时候，它们就十分有意思了。你已经认识了一些代数符号比如加号+，减号-。现在我们看两个新的符号和一个方程。首先是符号：

Σ = 一系列数字的和

Π = 一系列数字的积

和是什么？是序列中所有数字做加法。比如我们有一个向量集A（记住向量是一行或一列数字）包括： {1,2,3,4,5}.

序列的和为：

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

积是所有数字做乘法。所以对于同样的集合A我们有：

1 x 2 x 3 x 4 x 5 =120

我们可以将序列的和精简地写作：

那么我们怎样理解它呢？简单，看这个。

我们从底部的j开始，j是一个变量。然后将j代入到右边的表达式中。最后，我们将序列的结束数字写在顶部。看一个例子：

如果你是一个程序员，你会立刻认出这是一个循环！

我们给这个方程写一个Python函数：

def sum_x_range(x):
    j = 1
    output = []   # 创建一个空list
    for k in range(0,5):  # 开始循环
         z = x**j      # 计算x的j次方
         j = j + 1     # j增加1，知道到达n，也就是5

         output.append[z]   # 将z添加到list中
    return sum(output)  # 返回list中所有数字的和

print (sum_x_range(2))   # 令x=2，调用方程

**符号表示x的j次幂。方程输入参数x，我令它为2。从0到5循环，取x的1,2,3,4, 5次幂，然后将这些数字添加到一个列表中。它得出列表数字之和为：62。

走进矩阵

2D张量也被称为矩阵。它基本上是一个表格，有行和列。首先，你需要知道如何引用矩阵的不同部分。 这张图讲得很清楚：

首先我们有矩阵A。用大写字母表示。

矩阵有m行和n列，所以我们叫它m X n 矩阵，用小写斜体字母表示。

行是水平的，也就是从左到右。 （不要被图中箭头迷惑，箭头指向的i和j不是行的方向，行是水平的！）

列是垂直的，也就是从上到下。

在这个例子中我们有一个4 x 5 矩阵，（也就是2D张量），因为我们有4行5列。

每个方格是矩阵中的一个元素。元素的位置使用小写斜体a和行序号i和列序号j来表示。

所以第1行第2列的4，用a1,2表示。第2行第1列的3，用a2,1表示。

我们不会讲解所有的矩阵数学运算，我们选择其中一种来小试牛刀。

点乘在神经网络中是一种非常常用的运算，所以一起看看它。

点，点，点

点乘是我们用一个矩阵乘以另一个矩阵的方法。

点乘的符号表示，你应该猜到了，是一个点。

a . b

这是两个标量(也就是单独的数)的点乘。标量也是我们的矩阵里的独立的元素。

我们将同样大小和形状的矩阵对应的元素相乘，再把所有的乘积作和。

那么一个向量和另一个向量乘积的公式是什么样的呢？

我们现在认识了所有的符号。

这是两个等长向量的乘积公式。记住在数学菜鸟的AI学习攻略第四部分-张量表示（有猫） 中讲到，一个向量就是一行或者一列数字。我们的矩阵的每一行或者每一列都是一个向量。

首先我们用矩阵A的第一个元素乘以矩阵B的第一个元素。然后我们用元素A2 乘以元素B2.我们对于每一个元素做相同的操作，直到达到末尾，“n”。然后对它们作和。

让我们看一下这个操作的图示。

现在我们可以把这些数字代入我们的公式。

（1,2,3）·（7,9,11）=（1x7）·（2x9）·（3x11）= 58

这里是输出矩阵下一个数字的例子

最终结果：

这些例子来自于神奇的趣味数学网站（Math is Fun website）。这个网站里有大量超赞的例子，完全无法超越。

我增加了一些公式，以助于你的理解。因为他们一般都会跳过这些，因为一般这些步骤并不会令人感到困惑。但是你现在再也不会困惑了。

胜在学习策略

我是一个自学者，也就是我一般自己给自己讲解。当我可以放慢脚步，可以自己探索时，我可以学得更好。我会犯一些错误。我上一篇文章就是一个很好的例子，我不得不修正一部分。但是错误也是一件好事！

错误是过程中的一部分。你没有办法避免错误，只能拥抱它。你犯错了，你会进步。没有犯错，就没有进步。就是这么简单。

工程界有一个老段子。

如果你想知道正确答案，不用请人帮忙。只要将错误答案发出来，你就可以看看多少工程师跳出来指正你！

工程师绝不允许错误答案存在！

这是一个老段子，但是常常很管用。

另一件重要的事情是，如果你没有读我在数学菜鸟的AI攻略的一部分推荐的文章的话，或者你没有微积分、代数和几何背景的话，你可能读不了数学符号书（Mathematical Notation book） 。你需要懂得一个术语的背景知识。但是我建议你买一本，它可以在你读其他书的时候，作为一个参考指南。

另外，建议放慢脚步。这又不是比赛！半途而废等于没有分。如果你跳过了一些你不懂的术语，你将来还是不得不回头来看。

所以停下来，花一点时间搞明白所有你不懂的符号。这很缓慢，甚至令人沮丧。但是当你建立越来越多的知识体系，你会越来越快。你会发现你已经理解了一些术语，而此前你从未想象自己可以理解它。

另外，你可能需要从多个地方来查询。需要面对的事实是，大部分人都不是好老师。他们可能理解了一篇材料，但是并不意味着他们可以给其他人讲清楚。教学是一门艺术。这就是为什么趣味数学网站比维基百科好。维基百科确实很“正确”，但是也很枯燥，有时候还令人费解。等你学到更多的时候，也许你可以将维基百科改得更好。

将这些忠告记在心里，你的AI学习之旅就不会误入歧途！