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1、推荐系统中的 EE 问题

Exploration and Exploitation(EE 问题，探索与开发)是计算广告和推荐系统里常见的一个问题，为什么会有 EE 问题？简单来说，是为了平衡推荐系统的准确性和多样性。

EE 问题中的 Exploitation 就是：对用户比较确定的兴趣，当然要利用开采迎合，好比说已经挣到的钱，当然要花；而 exploration 就是：光对着用户已知的兴趣使用，用户很快会腻，所以要不断探索用户新的兴趣才行，这就好比虽然有一点钱可以花了，但是还得继续搬砖挣钱，不然花完了就得喝西北风。

2、Bandit 算法

Bandit 算法是解决 EE 问题的一种有效算法，我们先来了解一下 Bandit 算法的起源。

Bandit 算法来源于历史悠久的赌博学，它要解决的问题是这样的：

一个赌徒，要去摇老虎机，走进赌场一看，一排老虎机，外表一模一样，但是每个老虎机吐钱的概率可不一样，他不知道每个老虎机吐钱的概率分布是什么，那么每次该选择哪个老虎机可以做到最大化收益呢？这就是多臂赌博机问题（Multi-armed bandit problem, K-armed bandit problem, MAB）。

怎么解决这个问题呢？最好的办法是去试一试，不是盲目地试，而是有策略地快速试一试，这些策略就是 Bandit 算法。

Bandit 算法如何同推荐系统中的 EE 问题联系起来呢？假设我们已经经过一些试验，得到了当前每个老虎机的吐钱的概率，如果想要获得最大的收益，我们会一直摇哪个吐钱概率最高的老虎机，这就是 Exploitation。但是，当前获得的信息并不是老虎机吐钱的真实概率，可能还有更好的老虎机吐钱概率更高，因此还需要进一步探索，这就是 Exploration 问题。

下面，我们就来看一下一些经典的 Bandit 算法实现吧，不过我们还需要补充一些基础知识。

3、基础知识

3.1 累积遗憾

Bandit 算法需要量化一个核心问题：错误的选择到底有多大的遗憾？能不能遗憾少一些？所以我们便有了衡量 Bandit 算法的一个指标：累积遗憾：

这里 t 表示轮数， r 表示回报。公式右边的第一项表示第 t 轮的期望最大收益，而右边的第二项表示当前选择的 arm 获取的收益，把每次差距累加起来就是总的遗憾。

对应同样的问题，采用不同 bandit 算法来进行实验相同的次数，那么看哪个算法的总 regret 增长最慢，那么哪个算法的效果就是比较好的。

3.2 Beta 分布

有关 Beta 分布，可以参考帖子：https://www.zhihu.com/question/30269898。这里只做一个简单的介绍。
beta 分布可以看作一个概率的概率分布。它是对二项分布中成功概率 p 的概率分布的描述。它的形式如下：

其中，a 和 b 分别代表在 a+b 次伯努利试验中成功和失败的次数。我们用下面的图来说明一下 Beta 分布的含义：

上图中一共有三条线，我们忽略中间的一条线，第一条线中 a=81，b=219。也就是说在我们进行了 300 次伯努利试验中，成功 81 次，失败 219 次的情况下，成功概率 p 的一个分布，可以看到，p 的概率在 0.27 左右概率最大，但我们不能说成功的概率就是 0.27，这也就是频率派和贝叶斯派的区别，哈哈。此时，我们又做了 300 次试验，此时在总共 600 次伯努利试验中，成功了 181 次，失败了 419 次，此时成功概率 p 的概率分布变为了蓝色的线，在 0.3 左右概率最大。

4、经典 Bandit 算法原理及实现

下文中的收益可以理解为老虎机吐钱的观测概率。

4.1 朴素 Bandit 算法

先随机试若干次，计算每个臂的平均收益，一直选均值最大那个臂。

4.2 Epsilon-Greedy 算法

选一个(0,1)之间较小的数 epsilon，每次以 epsilon 的概率在所有臂中随机选一个。以 1-epsilon 的概率选择截止当前，平均收益最大的那个臂。根据选择臂的回报值来对回报期望进行更新。

这里 epsilon 的值可以控制对 exploit 和 explore 的偏好程度，每次决策以概率ε去勘探 Exploration，1-ε的概率来开发 Exploitation，基于选择的 item 及回报，更新 item 的回报期望。

• 本文地址：推荐系统遇上深度学习 (十二)-- 推荐系统中的 EE 问题及基本 Bandit 算法
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对于 Epsilon-Greedy 算法来首，能够应对变化，即如果 item 的回报发生变化，能及时改变策略，避免卡在次优状态。同时 Epsilon 的值可以控制对 Exploit 和 Explore 的偏好程度。越接近 0，越保守，只想花钱不想挣钱。但是策略运行一段时间后，我们已经对各 item 有了一定程度了解，但没用利用这些信息，仍然不做任何区分地随机 Exploration，这是 Epsilon-Greedy 算法的缺点。

4.3 Thompson sampling 算法

Thompson sampling 算法用到了 Beta 分布，该方法假设每个老虎机都有一个吐钱的概率 p，同时该概率 p 的概率分布符合 beta(wins, lose)分布，每个臂都维护一个 beta 分布的参数，即 wins, lose。每次试验后，选中一个臂，摇一下，有收益则该臂的 wins 增加 1，否则该臂的 lose 增加 1。

每次选择臂的方式是：用每个臂现有的 beta 分布产生一个随机数 b，选择所有臂产生的随机数中最大的那个臂去摇。

4.4 UCB 算法

前面提到了，Epsilon-Greedy 算法在探索的时候，所有的老虎机都有同样的概率被选中，这其实没有充分利用历史信息，比如每个老虎机之前探索的次数，每个老虎机之前的探索中吐钱的频率。

那我们怎么能够充分利用历史信息呢？首先，根据当前老虎机已经探索的次数，以及吐钱的次数，我们可以计算出当前每个老虎机吐钱的观测概率 p'。同时，由于观测次数有限，因此观测概率和真实概率 p 之间总会有一定的差值 ∆ ，即 p' - ∆ <= p <= p' + ∆。

基于上面的讨论，我们得到了另一种常用的 Bandit 算法：UCB(Upper Confidence Bound)算法。该算法在每次推荐时，总是乐观的认为每个老虎机能够得到的收益是 p' + ∆。

好了，接下来的问题就是观测概率和真实概率之间的差值 ∆如何计算了，我们首先有两个直观的理解：

1）对于选中的老虎机，多获得一次反馈会使 ∆变小，当反馈无穷多时，∆趋近于 0，最终会小于其他没有被选中的老虎机的 ∆。

2）对于没有被选中的老虎机，∆会随着轮数的增大而增加，最终会大于其他被选中的老虎机。

因此，当进行了一定的轮数的时候，每个老虎机都有机会得到探索的机会。UCB 算法中 p' + ∆的计算公式如下：

其中加号前面是第 j 个老虎机到目前的收益均值，后面的叫做 bonus，本质上是均值的标准差，T 是目前的试验次数，n 是该老虎机被试次数。

为什么选择上面形式的 ∆呢，还得从 Chernoff-Hoeffding Bound 说起：

因此(下面的截图来自于知乎[https://zhuanlan.zhihu.com/p/32356077](https://zhuanlan.zhihu.com/p/323

5、代码实现

接下来，我们来实现两个基本的 Bandit 算法，UCB 和 Thompson sampling 算法。

5.1 UCB 算法

代码中有详细的注释，所以我直接贴完整的代码了：

import numpy as np

T = 1000 # T轮试验
N = 10 # N个老虎机

true_rewards = np.random.uniform(low=0, high=1, size=N) # 每个老虎机真实的吐钱概率
estimated_rewards = np.zeros(N) # 每个老虎机吐钱的观测概率，初始都为0
chosen_count = np.zeros(N) # 每个老虎机当前已经探索的次数，初始都为0
total_reward = 0

# 计算delta
def calculate_delta(T, item):
 if chosen_count[item] == 0:
 return 1
 else:
 return np.sqrt(2 * np.log(T) / chosen_count[item])

# 计算每个老虎机的p+delta，同时做出选择
def UCB(t, N):
 upper_bound_probs = [estimated_rewards[item] + calculate_delta(t, item) for item in range(N)]
 item = np.argmax(upper_bound_probs)
 reward = np.random.binomial(n=1, p=true_rewards[item])
 return item, reward

for t in range(1, T): # 依次进行T次试验
 # 选择一个老虎机，并得到是否吐钱的结果
 item, reward = UCB(t, N)
 total_reward += reward # 一共有多少客人接受了推荐

 # 更新每个老虎机的吐钱概率
 estimated_rewards[item] = ((t - 1) * estimated_rewards[item] + reward) / t
 chosen_count[item] += 1

5.2 Thompson sampling 算法

Thompson sampling 算法涉及到了 beta 分布，因此我们使用 pymc 库来产生服从 beta 分布的随机数，只需要一行代码就能在选择合适的老虎机。

np.argmax(pymc.rbeta(1 + successes, 1 + totals - successes))

参考文献

https://blog.csdn.net/z1185196212/article/details/53374194

https://blog.csdn.net/heyc861221/article/details/80129310

http://baijiahao.baidu.com/s?id=1559186004007512&wfr=spider&for=pc

https://www.zhihu.com/question/30269898

https://zhuanlan.zhihu.com/p/32356077