【十大经典数据挖掘算法】PageRank

引言

PageRank 是 Sergey Brin 与 Larry Page 于 1998 年在 WWW7 会议上提出来的，用来解决链接分析中网页排名的问题。在衡量一个网页的排名，直觉告诉我们：

当一个网页被更多网页所链接时，其排名会越靠前；

排名高的网页应具有更大的表决权，即当一个网页被排名高的网页所链接时，其重要性也应对应提高。

对于这两个直觉，PageRank 算法所建立的模型非常简单：一个网页的排名等于所有链接到该网页的网页的加权排名之和：

表示 i 个网页的 PageRank 值，用以衡量每一个网页的排名；若排名越高，则其 PageRank 值越大。网页之间的链接关系可以表示成一个有向图，边代表了网页 j 链接到了网页 i；为网页 j 的出度，也可看作网页 j 的外链数（ the number of out-links）。

假定为 n 维 PageRank 值向量，A 为有向图 G 所对应的转移矩阵，

n 个等式（1）改写为矩阵相乘：

但是，为了获得某个网页的排名，而需要知道其他网页的排名，这不就等同于“是先有鸡还是先有蛋”的问题了么？幸运的是，PageRank 采用 power iteration 方法破解了这个问题怪圈。欲知详情，请看下节分解。

求解

为了对上述及以下求解过程有个直观的了解，我们先来看一个例子，网页链接关系图如下图所示：

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那么，矩阵 A 即为

所谓 power iteration，是指先给定一个 P 的初始值，然后通过多轮迭代求解：

最后收敛于，即差别小于某个阈值。我们发现式子（2）为一个特征方程（characteristic equation），并且解 P 是当特征值（eigenvalue）为 1 时的特征向量（eigenvector）。为了满足（2）是有解的，则矩阵 AA 应满足如下三个性质：

• stochastic matrix，则行至少存在一个非零值，即必须存在一个外链接（没有外链接的网页被称为 dangling pages）；

• 不可约（irreducible），即矩阵 A 所对应的有向图 G 必须是强连通的，对于任意两个节点 u,v∈V，存在一个从 u 到 v 的路径；

• 非周期性（aperiodic），即每个节点存在自回路。

显然，一般情况下矩阵 A 这三个性质均不满足。为了满足性质 stochastic matrix，可以把全为 0 的行替换为 e/ne/n，其中 e 为单位向量；同时为了满足性质不可约、非周期，需要做平滑处理：

其中，d 为 damping factor，常置为 0 与 1 之间的一个常数；E 为单位阵。那么，式子（1）被改写为

参考资料

[1] Bing Liu and Philip S. Yu, "The Top Ten Algorithms in Data Mining" Chapter 6.